Die Chaosforschung (auch: Theorie komplexer Systeme oder Komplexitätstheorie) ist ein Teilgebiet der Mathematik und Physik und befasst sich im Wesentlichen mit Systemen, deren Dynamik unter bestimmten Bedingungen empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt, so dass ihr Verhalten nicht langfristig vorhersagbar ist. Da diese Dynamik einerseits den physikalischen Gesetzen unterliegt, andererseits aber irregulär erscheint, bezeichnet man sie als deterministisches Chaos. Chaotische Systeme sind nichtlineare dynamische Systeme.

Beispiele sind der Schmetterlingseffekt beim Wetter, Turbulenzen, Wirtschaftskreisläufe, bestimmte Musterbildungsprozesse, wie beispielsweise Erosion, die Entstehung eines Verkehrsstaus sowie neuronale Netze und damit letztlich auch menschliches Verhalten.

Die Chaosforschung wurde bei ihrem Aufkommen von der Öffentlichkeit mit großem Interesse verfolgt. Die damit verbundenen oft überhöhten Erwartungen hat sie jedoch nicht erfüllen können. So wird der in der Öffentlichkeit populäre Begriff Chaostheorie in Fachkreisen eher vermieden. Die Erfolge der Chaosforschung bestehen im Wesentlichen in der Entdeckung bestimmter universeller Strukturen und Prinzipien im scheinbar regellosen Verhalten chaotischer Systeme wie beispielsweise verschiedenen "Wegen ins Chaos" wie über Periodenverdopplung oder die Ausbildung sogenannter seltsamer Attraktoren.

Die Chaosforschung basiert unter anderem auf Arbeiten von Henri Poincaré, Edward N. Lorenz, Benoit Mandelbrot und Mitchell Feigenbaum. Die hier dargestellten Phänomene entsprechen dem Minimalkonsens darüber, was thematisch zur Chaosforschung zählt.

Anders als der Begriff Chaos in der Umgangssprache charakterisiert die deterministische Chaostheorie nicht den Zustand eines Systems, wie beispielsweise seine Unordnung, sondern sein zeitliches Verhalten, das heißt seine Dynamik. Chaotisches Verhalten liegt dann vor, wenn selbst geringste Änderungen der Anfangsbedingungen nach einer gewissen Zeit zu einem völlig anderen Verhalten führen. Man spricht in diesem Zusammenhang von sensibler Abhängigkeit von den Anfangswerten (leider meist falsch als „sensitive“ Abhängigkeit übersetzt). Es stellt sich ein nichtperiodisches und scheinbar irreguläres Verhalten ein.

Grenzen der Vorhersagbarkeit

Beliebig kleine Differenzen in den Anfangsbedingungen von chaotischen Systemen wachsen mit der Zeit im Mittel an. Oftmals ist deshalb folgendes der Fall: um das Systemverhalten für eine bestimmte zukünftige Zeit berechnen zu können, müssen die Anfangsbedingungen mit einer Präzision bekannt sein, die die Möglichkeiten praktischer Messgenauigkeit bei weitem übersteigt. Diese Art von Unvorhersagbarkeit findet sich auch bei Systemen, die nicht chaotisch sind (etwa die Abbildung f(x)=cx auf R+ mit c>1). Chaotische systeme zeigen aber auch stärkere Formen von Unvohersagbarkeit, etwa dass Ereignisse, die weit genug in der Vergangenheit liegen, probabilistisch irrelevant für Vorhersagen sind. Diese Eigenschaft kann als charakteristisch für chaotische Systeme angesehen werden.[1] Obwohl auch solche Systeme, zumindest im Sinne der klassischen Physik, determiniert und damit prinzipiell berechenbar sind, sind daher praktische Vorhersagen nur für mehr oder weniger kurze Zeitspannen möglich.

Dieses Phänomen ist auch unter dem Schlagwort Schmetterlingseffekt in der Öffentlichkeit bekannt geworden, wonach selbst der Flügelschlag eines Schmetterlings auf lange Sicht zu einem anderen Ablauf des großräumigen Wettergeschehens führen kann.

Quantentheorie und Determinismus

Die Berücksichtigung der Erkenntnisse der Quantentheorie zeigt, dass die Vorhersagbarkeit realer komplexer Systeme nicht nur an der Grenze der praktisch möglichen Messgenauigkeit scheitert, sondern dass ihr Verhalten prinzipiell nicht determiniert ist. So besagt die Heisenbergsche Unschärferelation, dass Ort und Impuls eines Objektes nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind. Diese Einschränkung bezieht sich nicht auf Unzulänglichkeiten des Beobachtungsvorgangs, sondern ist prinzipieller Natur. Diese Unschärfe ist bei makroskopischen Systemen gewöhnlich vernachlässigbar. Da sie bei chaotischen Systemen jedoch exponentiell anwächst, nimmt sie früher oder später makroskopische Dimensionen an. Bei dem Gerät zur Ziehung der Lottozahlen mit Kugeln ist das bereits nach etwa 20 Stößen der Fall. Die Vorhersagbarkeit chaotischer Systeme scheitert daher spätestens an der Unschärferelation. Das bedeutet, dass reale Systeme prinzipiell nicht im klassischen Sinn deterministisch sein können im Gegensatz zu den sie beschreibenden mathematischen Modellen.

Nichtlineare Systeme

Chaotisches Verhalten kann nur in Systemen auftreten, deren Dynamik durch nichtlineare Gleichungen beschrieben wird. Solche Gleichungen sind meist nicht analytisch, d. h. nicht durch Angabe expliziter Größen, sondern nur numerisch lösbar. Ursache des exponentiellen Wachstums von Unterschieden in den Anfangsbedingungen sind dabei oft Mechanismen von Selbstverstärkung beispielsweise durch Rückkopplungen. Ist durch Reibung hinreichend Dissipation im Spiel, so kann sich in der Regel kein chaotisches Verhalten ausbilden. So könnten beispielsweise bei Jahrmarktsfahrgeschäften, die konstruktionsbedingt zu chaotischem Verhalten neigen, ohne entsprechende Bremsmaßnahmen unerwartete und unzumutbare Beschleunigungsspitzen auftreten. Dass dissipative Terme nicht ausschließlich stabilisierend wirken, zeigt sich am Beispiel einer Grenzschicht. Mit der linearen Stabilitätstheorie lässt sich zeigen, dass erst der Einfluss der Reibung das Wachstum kleiner Störungen ermöglicht. Dieses exponentielle Anwachsen stellt die erste Phase des laminar-turbulenten Umschlags dar.

Ein wesentliches Ergebnis der Chaosforschung ist die Entdeckung, dass chaotische Systeme trotz ihres langfristig nicht vorhersagbaren, scheinbar irregulären Verhaltens bestimmte typische Verhaltensmuster zeigen. Da sie bei völlig unterschiedlichen Systemen beobachtet werden, sind sie von universeller Bedeutung.

Systeme können sehr empfindlich auf Störungen reagieren und dadurch schnell ins Chaos übergehen. Erst das KAM-Theorem hat gezeigt, dass regelmäßige Einflüsse an sensiblen Stellen im Phasenraum nicht zwingend chaotisches Verhalten hervorrufen müssen. Sensibel sind z. B. rationale (ganzzahlige) Verhältnisse zwischen einer ungestörten Schwingung (z. B. eines Doppelpendels) zu einer periodischen Anregung. Diese rufen nämlich Resonanzen hervor, weshalb für das Theorem nur irrationale Verhältnisse betrachtet werden.

Aus mathematischer Sicht, gerade bei normalerweise vorherrschenden Messungenauigkeiten, kann man jede irrationale Zahl durch Brüche approximieren (Kettenbruchentwicklung). Daher scheint die Überlegung praktisch sinnlos zu sein. Man muss aber bedenken, dass sich ein System umso schneller durch Resonanzen aufschaukeln wird, je näher das Frequenzverhältnis an einem rationalen Wert liegt. Das heißt, die erwarteten Werte weichen noch schneller von den gemessenen ab, als es sonst der Fall wäre.

Besonders stabil gegenüber Störungen (zeitlich gesehen) sind daher irrationale Verhältnisse, die sich nur schlecht durch Brüche annähern lassen. Allgemein spricht man in diesem Zusammenhang von edlen Zahlen, wobei ein Verhältnis namens Goldener Schnitt die Zahl ist, die sich am schlechtesten mittels Kettenbruchentwicklung annähern lässt und somit am stabilsten gegen chaotische Einflüsse ist.

Chaotische Systeme können nun eine besondere Form von Attraktoren haben, die als seltsame Attraktoren bezeichnet werden. Obwohl sie sich in einem begrenzten Gebiet des Phasenraumes aufhalten, sind sie unendlich lang und nicht periodisch. Bezüglich kleiner Störungen zeigen sie chaotisches Verhalten. Es sind Fraktale mit einer komplizierten und scheinbar irregulären inneren geometrischen Struktur. Sie sind in eine Teilmenge des Phasenraums eingebettet, die eine niedrigere Dimensionalität besitzt als der Phasenraum selbst. Das bedeutet, dass in der Dynamik trotz des chaotischen Charakters nur ein infinitesimaler und damit verschwindender Bruchteil aller möglichen Zustände vorkommt. Der Attraktor selbst hat, wie bei Fraktalen üblich, eine fraktale Dimension, die durch eine gebrochene Zahl dargestellt wird und die damit noch kleiner als die Dimension des Einbettungsbereiches ist.

Das bekannteste Beispiel für einen seltsamen Attraktor ist der Lorenz-Attraktor, den Lorenz bei der Modellierung des Wettergeschehens entdeckte. Ein weiteres Beispiel ist der Rössler-Attraktor, auf den Otto E. Rössler durch die Betrachtung einer Bonbonknetmaschine stieß.

Nach dem Poincaré–Bendixson-Theorem können seltsame Attraktoren erst in Phasenräumen ab drei Dimensionen auftreten. Ursache ist der Umstand, dass Bahnen im Phasenraum, wie bei einem Strömungsfeld üblich, sich nicht kreuzen, was aber für ein chaotisches Verhalten in zwei Dimensionen erforderlich wäre. Seltsame Attraktoren können nur dann auftreten, wenn mindestens ein Ljapunow-Exponent negativ und mindestens einer positiv ist. Der negative sorgt in gewissem Sinne für Konvergenz bezüglich einer Dimension und damit für die Reduktion der Dimensionalität, der positive für das chaotische Verhalten.

Schnittflächen durch den Phasenraum, die senkrecht von Bahnen durchstoßen werden, werden als Poincaré-Abbildung bezeichnet. Im Fall von seltsamen Attraktoren bilden die Durchstoßpunkte Cantor-Mengen.

Auch bei diskreten chaotischen Systemen werden seltsame Attraktoren beobachtet wie beispielsweise der Hénon-Attraktor. Analog zu attraktiven Strukturen können auch repulsive Strukturen auftreten, die ebenfalls fraktal sind, wie beispielsweise die Julia-Mengen.

Die Bäcker-Transformation (englisch baker's map) wurde nach dem Vorgang des Teigknetens benannt: Ein Teig wird in die doppelte Länge gezogen und dann zusammengefaltet, so dass die beiden Enden übereinander liegen. Diese Prozedur wiederholt sich, bis eine gute Vermischung entstanden ist. Zwei Teilchen, die ursprünglich nahe beisammen waren, sind nach kurzer Zeit weit voneinander entfernt. Nach wenigen Anwendungen der Transformation ist das Ursprungsbild nicht mehr rekonstruierbar. Die unten stehende Gleichung beschreibt die Position eines einzelnen Teilchens ("Rosine") nach genau einem Transformationsschritt. Die Transformation nach mehreren Schritten ist quasi-chaotisch und wird iterativ berechnet.